[수학] 수학 성적을 올리는 방법 3단계(문제풀이 방법론)

앞의 두 글에서 개념의 중요성에 대해 역설한 바가 있다. 일단 개념을 숙지(암기)하고, 이해해야 한다. 공식들이 어떻게 도출되었는지, 왜 그렇게 되는 것인지, 교육과정 범위 내에서 이해해보려고 노력하는 것이 중요하다.그 러나 개념을 달달 외우고 이해해도 성적이 안오른다. 뭐가 잘못된 것일까?

중, 고등학교 수학에서 중요한 것은 결국 문제를 풀어내는 것이다. 그것도 제한된 시간 내에서. 이론과 실전의 영역이 구분되어 있는 것 처럼 내가 개념을 완벽히 외우고 있고 이해하고 있지만 그것을 제한된 시간 내에 문제 풀이로 활용하는 것은 또 다른 상황이다. 연습과 숙달이 필요하다는 이야기다. 연습과 숙달 과정은 아래와 같은 순서로 하는 것을 추천한다.

전반적인 과정은 다음과 같다.

1. 출제의도 파악 연습 (어떤 개념을 이해하고 있는 지 묻는 문제인가?)

2. 풀이 과정을 적어가며 문제를 정석대로 푸는 연습

3. 제한시간내에 푸는 연습 (더 쉽고 빠른 풀이법을 생각해내는 응용력 연습)

위 문제를 보자. 중1단원 함수 문제이다. 그냥 구글에 중1 수학문제 검색해서 나온 문제 중에 아무거나 골랐다. 이 문제를 예시로 각 과정에 대해 설명하겠다.

1. 출제의도 파악

여기서 중요한 점은 2가지로, 결국 무엇을 구해야 하는건지 알아내고, 그것을 구하기 위해 필요한 개념들을 밝혀내면된다.

ex)

문제를 읽어보면 점 P, Q, R이 나오는데 P는 x축 위의 점, Q와 R은 x축과 대칭인 점이고, 뭐 a+b+c의 값을 구하라 되어 있지만 결국 각 점들의 (x,y) 좌표를 구해야 하는 것이다. 어떤 개념을 이용해서 좌표를 구해야 하는지 알아냈는가? 바로 X축 위의 점에 대한 특징과 X축과 대칭인 점들의 특징이다. 

즉, 이 문제를 내가 이해한 대로 풀어보면, '세 점의 좌표를 x축위의 점에 대한 특징과 x축과 대칭인 점들의 특징으로 구하시오'가 되겠고, 당신이 함수 단원에서 x축과 y축, 그리고 어떤 직선 y=ax+b에 대하여 대칭인 점들에 대한 개념을 암기하고 이해만 하고 있다면 풀 수 있는 문제가 된다. 

2. 풀이과정을 알아볼 수 있게 적어가며 정석대로 풀기

여기서 중요한 점은 내가 알아볼 수 있게 최대한 깔끔하게 푸는 것이다. 이것의 이유는 먼저 나중에 검토 과정을 위한 것으로 문제풀이시 이런 습관을 길러 놓으면 문제를 검토할 비교도 안될 정도로 빨리 걸리고 틀린 부분을 쉽게 찾아낼 수 있다. 또한 3번째 과정을 위한 것도 있다.

ex)

x축의 위의 점은 y축 좌표가 항상 0이다. x축에 대해 대칭인 점은 x축 좌표는 같고 y축 좌표는 부호만 반대이다. 

점P : 0.5a+4=0, a=-8. → P(-9,0)

점Q와 R : 3b-2=b, b=1. 7-c=-(1+2c), 7-c=-1-2c, c=-8. → Q(1,15) P(1,-15). 절대값은 같고 부호만 반대이니 앞에 (-)를 붙였다.

→ a+b+c = -15

3. 제한시간 내에 풀기

3.1 응용력 기르기

이 단계에서는 필요한 준비물이 있다. 나보다 수학을 잘 하는 사람이 필요하다. 반에서 공부 잘하는 친구, 선생님, 인강 강사, 문제집의 해답지 등, 누구든, 어떤 것이든 가능하다. 같은 문제를 풀었을 때 나보다 잘하는 사람은 어떤 방식으로 푸는 지, 2번에서 기록해 두었던 나의 풀이와 비교해보자. 그들의 사고 구조, 응용력을 배워야 한다. 물론 스스로 깨우치면 더 좋지만 응용력이 바닥인 상태에서는 일단 무조건 배우자. 

위의 문제에 적용해 보면, 특별하게 다른 풀이는 보이지 않는다. 다만 각 점의 좌표를 일일이 구해서 적기 보다는 a+b+c의 값만 구하면 되므로 a,b,c와 관련된 방정식 3개를 저고 그 값만 구하는 형태의 풀이가 될 수 있다.

ex)

0.5a+4=0, a=-8

3b-2=b, b=1

7-c=-(1+2c), c=-8 → a+b+c=-8+1-8=-15

3.2 시간관리방법 기르기

시간을 정해놓고 푸는 연습이나 실제 시험에서는 제한 시간이 있기 때문에 시간관리능력이 필요하다. 이 단계에서 중요한 점은 1단계가 30초 안에 떠오르지 않으면 다음 문제로 넘어가기이다. 넘어가야 한다. 아쉬움이 남고 눈에 못 푼 문제가 밟히겠지만 눈물을 머금고 넘어가야한다. 이 방법의 핵심은 시간 투자의 효율성을 극대화 시키는것이다. 즉 쉽고 빨리 풀 수 있는 문제를 빨리 풀고 나머지 시간을 어려운 문제에 투자해야 하는데 그러려면 내가 막히는 문제는 일단 넘어가야 한다.

마지막까지 다 풀고나서 다시 막힌 문제부터 돌아와 계속 이 단계를 반복한다. 풀이법이 떠오르지 않으면 넘어가고 다음 문제를 풀고, 마지막 문제를 풀고나면 다시 되돌아 온다. 이런 식으로 하다보면 적어도 시간 없어서 못풀었다는 아쉬움은 많이 줄어들 것이다.

4. 방법 적용에 대한 조언

1) 1단계와 2단계는 동시에 진행하고, 3단계는 정석 풀이법이 익숙해 지면 오답노트 형식으로 정리하면 좋다. 

2) 쎈 수학처럼 문제은행 식으로 많은 문제가 있는 문제집이 좋지만 유형별로 모아놓게 되면 1단계 연습에서 치팅이 발생한다. 가지고 있는 문제, 틀린 문제로 연습해도 상관없다.

3) 수학 강의를 들은 바로 직후 복습형태로 진행하면 효과가 좋다. 학교강의, 과외, 학원강의, 인터넷강의등 수업 들은 직후 몇 문제라도 연습해 보면 개념 적용도 쉽고 좋다.

4) 조급해 하지말자. 연습과 숙달의 과정은 꾸준히 매일 하는 것이다. 대부분의 사람은 천재가 아니다. 천재를 이기는 법은 꾸준히 하는 수 밖에 없다. 아무리 슈퍼 천재라도 100점 이상으로 점수를 받을수도 없다. 꾸준히 하다보면 나도 100점이 되고, 천재와 나란히 서는 날이 올 것이다.